В расчетно-графической работе необходимо подобрать сечение прямоугольной формы.

В условии нам дано отношение сторон прямоугольника β=h/b  , допустимое нормальное напряжение [σ] и допустимое касательное напряжение [τ]. Не будем вдаваться в теорию, для решения в ней нет большой необходимости, все решается элементарно по формулам.

Во всех вариантах у нас дано:

[σ]=12 Мпа

[τ]=2 Мпа

А вот β во всех вариантах разная, мы возьмем β=2,3

Задача состоит в том, чтобы найти стороны прямоугольника, вычислить максимальные напряжения и сравнить их с допустимыми. Приступим.

Существует формула требуемого момента сопротивления:

    общая формула для момента сопротивления

Для прямоугольника момент инерции находится по формуле:

А Z_max ни что иное, как половина длины h

Из этого формула получает вид:    

Из соотношения сторон можно выразить одну сторону, через другую, к примеру выразим h

h=b*2.3

Теперь подставим это h в полученную выше формулу момента сопротивления W_y

Так как   мы записываем

М_мах мы смотрим по нашим эпюрам, какое будет максимальное значение моментов.

Отсюда выражаем b

Подставляем значение М. В прошлых уроках, где мы решали балку и строили эпюры М_мах=16 кН*м

Но нам нужно соблюдать размерность, т.к. [σ] в Мпа.

16 кН*м = 16*10^-3 Мпа*м²

Подставляем значение в формулу  и получаем ответ:

b=0.1147 м=11,5 см

Находим h из соотношения сторон

h=11,5*2.3=26,45 см

Теперь , когда мы нашли обе стороны прямоугольника, нам нужно рассчитать момент сопротивления W_y

Теперь мы можем определить фактическое значение нормального напряжения:

Мы вычислили напряжения. Теперь нам нужно построить их эпюру

Вот таким образом выглядит эпюра. Что стоит учесть: по середине напряжения равны 0, на обоих краях они максимальные и равны 11,9 – т.е. найденному нами значению. Что означают знаки + и – в наших эпюрах? При расчетах мы использовали максимальный момент, и стоит посмотреть, с каким он был знаком. Если знак положительный – это значит, что балка в данном сечении 

изгибается в таком виде 

А если отрицательный, то в таком 

У нас был момент равен -16, и балка в этом сечении принимает вид, как на втором рисунке.

Это значит, что верхние волокна растянуты, а нижние сжаты (это видно на рисунке). При растяжении длина волокон увеличивается, при сжатии – уменьшается. Собственно на эпюре мы и указываем в каком месте у нас волокна растянуты – знак плюс, а в каком сжаты – знак минус.

Далее нам нужно проверить прочность балки по касательным напряжениям.

Для этого с нашей балки из прошлого урока нужно узнать максимальную поперечную силу Q_MAX .

Ее мы можем посмотреть на эпюре, которую мы строили в том уроке.

Как ни странно, но максимальная поперечная сила, так же как и момент, равна 16кН.

Для расчета существует специальная формула:

То есть, максимальное касательное напряжение должно быть меньше, чем допустимое.

Подставляем наши значения, учитывая размерности

0,79 МПа меньше, чем допустимое 2МПа.

И вот теперь нам осталось построить эпюру касательных напряжений. Она легче, чем эпюра нормальных напряжений, так как не надо учитывать растягивается балка или сжимается, а значит нет мороки со знаками.

Эпюра представляет собой что-то вроде дуги. На концах касательное напряжение равно 0, а в середине оно максимальное и равное найденному нами значению.

Таким образом мы подобрали прямоугольное сечение для нашей балки, нашли касательное и нормальное напряжение в сечении и построили их эпюры.