Расчет балки на прочность и построение эпюр – это вторая расчетно-графическая работа по сопротивлению материалов (РГСУ).

Сейчас мы рассмотрим часть этой расчетно-графической работы, а именно построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Примером будет балка, взятая из условий расчетно-графических работ

Для начала нужно найти опорные реакции, это мы уже делали в прошлых уроках, так что без объяснений, только решение:

∑М_А=0

-q*2*2+Rb*3+m-F*4=0

-12*2*2+3*Rb+18-16*4=0

-48+18-64+3*Rb=0

3*Rb=94

Rb=94/3

Делить не будем, т.к. конечного числа не получается.

∑М_В=0

-Ra*3+q*2*1+m-F*1=0

-3*Ra+12*2*1+18-16*1=0

26=3*Ra

Ra=26/3

Проверка

∑F_Y=0

Ra+Rb-q*2-F=0

26/3+94/3-12*2-16=0

120/3-24-16=0

40-40=0

0=0

Проверка выполнена, опорные реакции найдены правильно.

Что делать дальше? А дальше мы смотрим, на сколько участков разбита наша балка. По идее участок заканчивается где начинает действовать другая сила, но гораздо проще смотреть количество участков по данным нам длинам.

Нам дано 3 длины, значит участка тоже будет три. Приступаем.

Первый участок можно брать хоть слева, хоть справа. Мы пойдем слева направо.

Собственно вот наши участки:

В красном прямоугольнике первый участок, в зеленом – второй, в синем – третий.

И так, первый участок. Мысленно проводим сечение

На чертеже оно, можно сказать, по середине участка, но не стоит забывать, что сечение изменяется от начала участка

До конца

И оно может находится в любом месте, в пределах первого участка.

От начала участка, до сечения расстояние Х₁

Если мы сказали, что сечение может быть в любой точке первого участка, то и Х может принимать разные значения, именно поэтому мы задаем для него границы:

0≤Х≤1   Х может принимать значения от 0 до 1 т.к. весь участок длиной 1.

Теперь мы смотрим, какие же силы действуют на нашем участке.

Кроме реакции опоры Ra ничего не действует (q не попадает в наш участок).

Для поперечных сил существует правило знаков:

По середине идет сечение.

Смотрим на наше сечение. Все, что левее сечения мы отбрасываем, его как бы нету. На первом участке нас интересует лишь то, что входит в этот участок.

У нас есть Rа, оно направлено вверх (Реакция опоры), прямо как на первом рисунке правил знаков, следовательно знак будет +

Q_Х1=Ra=26/3=8,7 кН (теперь лучше поделить) пишем так же размерность, для Q это килоньютоны.

Далее нам надо найти М на первом участке. Для М есть свое правило знаков:

Это правило называют правилом «дождя», если сверху «вылить воду», то на первом рисунке вода останется налита, как в тарелку, а на втором рисунке она просто стечет. Вода осталась, значит у нас есть что попить, а это явный плюс для нас :) . На рисунке два мы остались без воды, а это уж точно не плюс, а скорее минус.

Чистых моментов на первом участке нету. Момент будет давать лишь опорная реакция Ra.

Как помним, момент это сила умноженная на плечо. Плечом у нас будет расстояние X1.

Записываем

М_x1=Ra*X1

Почему знак + ?

Теперь мы смотрим в какую сторону гнет нашу балку эта сила, если она направленна вверх, то по логике она изгибает балку прямо как на первом рисунке правил знаков для моментов, а именно

Теперь вместо X1 мы подставляем пределы нашего участка (0≤Х≤1) которые мы записывали вначале

М_Х1=0=8,7*0=0

М_Х1=1=8,7*1=8,7 кН*м

Первый участок сделан, переходим к участку номер два.

Как и в первом участке пишем пределы

1≤Х2≤3

Почему от 1 до 3 , а не от 0 до 2 ?

Да потому, что мы не можем брать от 0 до 1, т.к. это границы первого участка, а второй участок начинается с 1 и идет до 3.

Q_X2=Ra-q*(X2-1)

Теперь сложный момент с распределенной нагрузкой. В наше сечение попадает лишь его часть:

Если подумать, то она равняется Х2-1  вот тот участок, где действует нагрузка Q. Почему она с минусом: ну во-первых она гнет балку вниз, а во-вторых она противоположна по направлению положительной Ra, следовательно она будет с другим знаком.

Теперь мы подставляем наши границы в получившееся уравнение:

Q_X2=1=8,7-12*(1-1)=8,7 кН

Q_Х2=3=8.7-12(3-1)=-15.3 кН

А вот здесь есть не большой, но важный момент: у нас Q поменял знак на участке с плюса на минус (может менять наоборот), а это значит, что на этом участке момент будет приобретать экстремальное значение и его нам придется найти.

М_Х2=Ra*X2-q*(X2-1)²/2

Почему для моментов такое странное уравнение? Все очень просто: q действует на участке равном (Х2-1) , плечом этой силы будет (Х2-1)/2 и это все нужно перемножить q*(X2-1)*(X2-1)/2

Подставляем значения Х2

М_Х2=1=8,7*1-12*(1-1)²/2=8,7 кН*м

М_Х2=3=8,7*3-12*(3-1)²/2=26,1-24=2,1 кН*м

Теперь нам нужно найти тот самый экстремум, про который говорилось ранее. Для этого нам нужно приравнять 0 уравнение поперечных сил Q для этого участка и найти значение X2:

Q=Ra-q*(X2-1)=0

8,7-12*X2+12=0

20.7=12*X2

X2=1.725

Теперь найденное значение Х2 мы подставляем в уравнение моментов М и находим нужный нам экстремеум. Всю эту процедуру важно запомнить!

М_Х2=1.725=8,7*1,725-12*(1,725-1)²/2=15-3,2=11,8 кН*м (это мы потом укажем на эпюре)

Со вторым участком покончено. Остался один. Его можно рассмотреть так же – слева направо, но придется учитывать все опорные реакции, нагрузку и момент, а можно рассмотреть его справа и нам нужно будет учесть только силу F. Так мы и поступим:

Вот он, наш третий участок.

Указываем границы:

0≤Х3≤1  (мы рассматриваем участок справа, а он начинается от 0 и заканчивается 1)

Запишем уравнение поперечных сил:

Q_X3=F=16 кН 

почему плюс?

Смотрим правило знаков:

Смотрим относительно сечения по правилу знаков.

Теперь уравнение моментов:

М_Х3=-F*X3

Знак не такой как в уравнении Q, а кто сказал, что они должны быть всегда одинаковыми?

Мы пользуемся правилами знаков для моментов М:

Наша сила F гнет балку вниз, а значит знак минус.

Подставляем границы:

М_Х3=0=0

М_Х3=1=-16 кН*м

Вот мы рассчитали все участки, дальше построение эпюр.